Inleiding groepentheorie

6 ECTS credits
180 u studietijd

Aanbieding 1 met studiegidsnummer 1007406ANR voor alle studenten in het 2e semester met een inleidend bachelor niveau.

Semester

2e semester

Inschrijving onder examencontract

Niet mogelijk

Beoordelingsvoet

Beoordeling (0 tot 20)

2e zittijd mogelijk

Inschrijvingsvereisten

Je hebt ‘Lineaire algebra: stelsels, matrices en afbeeldingen’ gevolgd, alvorens ‘Inleiding groepentheorie’ op te nemen.

Onderwijstaal

Nederlands

Faculteit

Faculteit Wetenschappen en Bio-ingenieurswetensch.

Verantwoordelijke vakgroep

Wiskunde

Onderwijsteam

Arne Van Antwerpen (titularis)

Onderdelen en contacturen

26 contacturen Hoorcollege
26 contacturen Werkcolleges, practica en oefeningen

Inhoud

Alhoewel algebra vele toepassingen heeft in andere disciplines,
zoals bijvoorbeeld fysica, scheikunde en informatica, beperken wij
ons in deze cursus voornamelijk tot de "abstracte algebra". Wij
behandelen dus algebraische systemen; i.h.b. bestuderen wij
groepen.

In deze cursus geven wij een inleiding tot de groepentheorie. Via
deze studie leert men bovendien abstract redeneren en abstracte
theorieen begrijpen, en leert men strategieen voor het
oplossen van problemen. Tenslotte worden er ook twee topics uit de computationele groepentheorie behandeld.

Onder andere de volgende onderwerpen komen aan bod: groepen van
kleine orde, permutatiegroepen, lineaire groepen, cyclische
groepen, voortbrengers van groepen, normaaldelers,
quotientgroepen, homomorfismestellingen, stellingen van
Lagrange en Cauchy, vrije groepen, presentaties van groepen, het bepalen van de voortbrengende relaties van een groep, de grondstelling van eindige en eindig
voorgebrachte abelse groepen, acties van groepen en de Sylow stellingen, Cayleygraaf van een groep en Rubiks kubus.

De theorie wordt geillustreerd met voorbeelden. In de
oefeningen wordt onder andere aan deze voorbeelden, als ook aan de
nodige technieken, verder aandacht besteed. Op deze wijze
verkrijgt men algebraische intuitie en leert men
axiomatische- en verschillende bewijsmethoden.

Inhoud van de cursus (2 uur hoorcollege per week)

1. Inleiding, Definitie en Voorbeelden
1.1 Definities
1.2 Voorbeelden
1.3 Ringen en meer voorbeelden
1.4 Vermenigvuldigingstabel
1.5 Eelementaire Eigenschappen
1.6 De orde van een element
1.7 Vergelijkingen in groepen
1.8 Directe producten

2. Deelgroepen
2.1 Definitie
2.2. Speciale deelgroepen
2.3 Voortbrengers

3. Nevenklassen
3.1 Definitie

3.2 Stelling van Lagrange
3.2 Toepassingen

4. Normale Deelgroepen

5. Quotientgroepen
5.1 Definitie
5.2 Deelgroepen en quotientgroepen

6. Homomorfismen
6.1 Definitie
6.2 Isomorfismen
6.3 Homomorfismestellingen

7. Permutatiegroepen
7.1 Stelling van Cayley
7.2 Eindige Permutatiegroepen

8. Definiërende relaties van een groep

8.1 Vrije groepen en groepen gedefinieerd door generatoren en relaties

8.2 Definiërende relaties van een groep

8.3 Het Colouring algoritme

8.4 Implementatie en voorbeelden
9. Eindige Abelse Groepen
     9.1 Directe Producten
     9.2 Fundamentele Stelling

10. Acties
     10.1 Definitie
     10.2 Orbiet-Stabilsatorstelling
     10.3 Semidirecte product van groepen
     10.4 Sylowstellingen

11. Rubiks kubus

12. Oefeningen

Ook zijn er wekelijks 2 uren oefeningenzittingen (aangeboden door een assistent).

Studiemateriaal

Digitaal cursusmateriaal (Vereist) : Algebra 1
Digitaal cursusmateriaal (Vereist) : Nota's beschikbaar, website: http://homepages.vub.ac.be/~efjesper
Handboek (Aanbevolen) : Algebra, M. Artin, 2de, Pearson, 9781292027661, 2013
Handboek (Aanbevolen) : Abstract algebra, I.N. Herstein, Wiley, 9780471368793, 1996
Handboek (Aanbevolen) : A course in group theory, J.F. Humphreys, Oxford Science Publications, Oxford, 9780198534594, 1996

Bijkomende info

Oefeningenzittingen in contactonderwijs en zelfstandige huiswerken. Tijdens de
oefeningenzittingen worden voorbeeldoefeningen klassikaal opgelost. Geregeld wordt een klassikaal huiswerk opgegeven met oefeningen die aansluiten op de klassikaal
gemaakte oefeningen. Elke student moet uiterlijk op de aangeduide deadline zijn
projectoefeningen schriftelijk binnenleveren bij de assistent. Dit schriftelijk document wordt ook beoordeeld op de schriftelijke communicatievaardigheden. Dus dit moet zowel wiskundig inhoudelijk duidelijk zijn alsook een duidelijk document zijn qua stijl.

Syllabus: Algebra I
Nota's beschikbaar via: http://homepages.vub.ac.be/~efjesper

Aanvullend studiemateriaal:
M. Artin, Algebra, Prentice Hall, London, 2013. (ISBN 9781292027661)

I.N. Herstein, Abstract algebra, Prentice Hall, 1996.

J.F. Humphreys, A course in group theory, Oxford Science
Publications, Oxford, 1996.

Leerresultaten

Algemene competenties

1. Student kent basisbegrippen van inleiding groepentheorie.
2. Student kan basisbegrippen van groepentheorie toepassen op voorbeelden.
3. Student kan basisbegrippen van groepentheorie herkennen in andere voorbeelden en bewijzen van eigenschappen.
4. Student kan probleemoplossend denken.
5. Student kan eenvoudige bewijzen herconstrueren.
6. Student kan zelfstandig een wiskundige tekst schrijven over oplossingen van oefeningen.
7. Student maakt kennis met software pakket GAP, Groups Algebras and Programming.

Beoordelingsinformatie

De beoordeling bestaat uit volgende opdrachtcategorieën:
Examen Andere bepaalt 100% van het eindcijfer

Binnen de categorie Examen Andere dient men volgende opdrachten af te werken:

examen met een wegingsfactor 1 en aldus 100% van het totale eindcijfer.

Aanvullende info mbt evaluatie

Schriftelijk Oefeningenexamen (40%) en mondeling examen (theorie,
60%). Een cijfer wordt alleen toegekend als aan alle proeven wordt deelgenomen.

Toegestane onvoldoende

Kijk in het aanvullend OER van je faculteit na of een toegestane onvoldoende mogelijk is voor dit opleidingsonderdeel.

Academische context